Ο Καραθεοδωρή ήταν γνωστός εκτός Ελλάδας ως Constantin Carathéodory και συχνά αναφέρεται (λανθασμένα) ως Καραθεοδωρής. Το επιστημονικό έργο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή επεκτείνεται σε πολλούς τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Αρχαιολογίας. Είχε σημαντικότατη συνεισφορά ιδιαίτερα στους τομέις της πραγματικής ανάλυσης, συναρτησιακής ανάλυσης και θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης.
Το 1973, η Ελληνική Μαθηματική Εταιρία διοργάνωσε διεθνές συμπόσιο για τα 100 χρόνια από την γέννησή του Καραθεοδωρή, ενώ το 2000 το Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης διοργάνωσε παγκόσμιο συνέδριο Μαθηματικών για τα 50 χρόνια από τον θάνατο του μεγάλου επιστήμονα. Ανδριάντας του έχει στηθεί στην Κομοτηνή με πρωτοβουλία του εκεί παραρτήματος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας.
Επιστημονική αναγνώριση: Από το 1909 έως το 1920 δίδαξε Μαθηματικά σε διάφορα γερμανικά ακαδημαϊκά ιδρύματα: Αννόβερο, Μπρέσλαου (Βρότσλαβ στην σημερινή Πολωνία), Γκέτινγκεν και Βερολίνο. Η φήμη του ως μαθηματικού τον έφερε σε φιλική και επαγγελματική επαφή με άλλους μεγάλους ομολόγους της εποχής του όπως ο Μαξ Πλανκ (Max Plank), ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο Σβαρτς, ο Φρομπένιους, ο Σμιτ, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, ο Κλάιν, κ.ά.
Ιδιαίτερη ήταν η σχέση που συνέδεε τον Καραθεοδωρή με τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. Οι δύο άνδρες γνωρίσθηκαν το 1915 διατήρησαν μια επιστημονική σχέση, στηριγμένη στην αλληλοεκτίμηση και σεβασμό. Τότε άρχισε και το ενδιαφέρον του Καραθεοδωρή για την Θεωρία της Σχετικότητας.
Το 1911, μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ο Καραθεοδωρή συμμετείχε στην επιτροπή επιλογής καθηγητών για το Πανεπιστήμιο Αθηνών. Το 1913 έγινε καθηγητής της Α΄ έδρας της μαθηματικής επιστήμης του Πανεπιστημίου του Γκεντινγκεν, θέση στην οποία παρέμεινε μέχρι το 1918. Το 1920, πάλι με πρόσκληση του Βενιζέλου, ανέλαβε να οργανώσει το Ιώνιο Πανεπιστήμιο στη Σμύρνη. Η απόφαση του Καραθεοδωρή να επιστρέψει στην πατρίδα του προκειμένου να της φανεί χρήσιμος, παρόλο που μεσουρανούσε στη Γερμανία, είναι μάλλον ενδεικτική της αγάπης του για την Ελλάδα.
Στην Σμύρνη ο Καραθεοδωρή έμεινε μέχρι την κατάρρευση του μικρασιατικού μετώπου τον Αύγουστο του 1922. Όταν οι Τούρκοι εισέβαλαν στην πόλη, ο 49χρονος Καραθεοδωρή κατόρθωσε να διασώσει τη βιβλιοθήκη και πολλά από τα εργαστηριακά όργανα του Ιωνίου Πανεπιστημίου και να τα μεταφέρει στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Η δωρεά Καραθεοδωρή βρίσκεται μέχρι τις μέρες μας στο Μουσείο Φυσικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Το 1922 διορίστηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και το 1923 διορίσθηκε καθηγητής στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.
Μάλλον απογοητευμένος από την μίζερη κατάσταση των ελληνικών πανεπιστημίων, εγκατέλειψε την Ελλάδα το 1924, για να αναλάβει καθηγητική θέση στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου, που εκείνο τον καιρό ήταν το δεύτερο μεγαλύτερο πανεπιστήμιο της Γερμανίας και δίδασκαν σ' αυτό κορυφαία ονόματα. Το Νοέμβριο του 1926, έγινε μέλος στη νεοϊδρυθείσα Ακαδημία Αθηνών για την τάξη των Θετικών Επιστημών. Το 1928, ανταποκρινόμενος σε πρόσκληση από το Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ και την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία, επισκέφθηκε τις ΗΠΑ μαζί με την γυναίκα του για έναν σχεδόν χρόνο, για να δώσει διαλέξεις σε διάφορα αμερικανικά πανεπιστήμια, ανάμεσά στα οποία το Πανεπιστήμιο Πρίνστον, το Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια, το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν και άλλα.
Το 1930, πάλι μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ανέλαβε καθήκοντα κυβερνητικού επιτρόπου στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και το Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης για να βοηθήσει στην αναδιοργάνωση του πρώτου και στην οργάνωση του (νεοσύστατου) δεύτερου.
Επιστημονικό έργο: Ο Καραθεοδωρή άρχισε να συγγράφει επιστημονικές μελέτες ήδη από τον καιρό που εργάζονταν ως μηχανικός στην Αίγυπτο. Οι έρευνες του, τις οποίες δημοσίευσε κυρίως στα γερμανικά, συνθέτουν ένα τεράστιο και πολύπλευρο έργο, το οποίο τον κατατάσσει μεταξύ των μεγαλύτερων μαθηματικών.
Αρχικά ασχολήθηκε με τον Λογισμό των Μεταβολών και η διδακτορική διατριβή του (Γκέτινγκεν, 1904) φέρει τον τίτλο «Περί των ασυνεχών λύσεων στον Λογισμό των Μεταβολών». Στην συνέχεια, καταπιάστηκε με όλους σχεδόν του κλάδους των Μαθηματικών: θεωρία πραγματικών συναρτήσεων, θεωρία μιγαδικών συναρτήσεων, διαφορικές εξισώσεις, θεωρία συνόλων και διαφορική γεωμετρία, σύμμορφες απεικονίσεις κ.ά.
Οι μαθηματικές του αποδείξεις χαρακτηρίζονται από «κομψότητα και απλότητα», αλλά και αυστηρότητα που δίνει απόλυτη ασφάλεια στα συμπεράσματα που προκύπτουν. Με την συμβολή του στον Λογισμό των Μεταβολών βοήθησε στην ανάπτυξη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας προκαλώντας τον θαυμασμό του ίδιου του Αϊνστάιν:
«Αν θέλετε να μπείτε στον κόπο να μου εξηγήσετε ακόμα και τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα βρείτε έναν ευγνώμονα και ευσυνείδητο ακροατή. Αν όμως λύσετε και το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας με σταυρωμένα χέρια. Πίσω από αυτό υπάρχει κρυμμένο κάτι που είναι αντάξιο του ιδρώτα των καλυτέρων.» — Επιστολή του Αϊνστάιν προς τον Καραθεοδωρή, 1916
Η συμβολή του στην Θεωρητική Φυσική ήταν ουσιαστική στην μαθηματική θεμελίωση τομέων της Φυσικής όπως η Θερμοδυναμική, η Γεωμετρική Οπτική, η μηχανική και η Σχετικότητα.
Το 1909 δημοσίευσε μία εργασία με τίτλο «Έρευνα επί των βάσεων της Θερμοδυναμικής» στο περιοδικό Mathematische Annalen. Η εργασία αυτή έγινε ευρέως γνωστή στους κύκλους των φυσικών μόνο το 1921 από ένα σχετικό άρθρο του Μαξ Μπορν (Max Born) στο περιοδικό Physikalische Zeitschrift. Στην εργασία του 1909 περιέχεται και η περίφημη Αρχή Καραθεοδωρή που λέει ότι
«σε κάθε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας ενός συστήματος υπάρχουν μερικές απείρως γειτονικές καταστάσεις ισορροπίας στις οποίες δεν μπορούμε να φτάσουμε με αδιαβατικές μεταβολές».
Με απλά αξιώματα και υποθέσεις, ο Καραθεοδωρή κατόρθωσε να φτάσει στον ορισμό θεμελιωδών θερμοδυναμικών μεγεθών όπως της εντροπίας, χωρίς καμία αναφορά σε θερμοδυναμικούς κύκλους κ.λπ.
Υπήρξε μέλος των ακαδημιών Βερολίνου (1919), Γκέτινγκεν (1920), Μονάχου (1925), Κολωνίας (1926, Αθηνών (1927) και Ρώμης (1929).
Η τελευταία Συνέντευξη του Αινστάιν:
Το έτος 1973, γιορτάστηκε σ’ όλο τον κόσμο της επιστήμης σαν ‘‘Έτος Καραθεοδωρή’’ με τη συμπλήρωση εκατό χρόνων από τη γέννησή του.
Η λαμπρή αυτή Ελληνική διάνοια, θα μείνει στην πρώτη γραμμή των μεγάλων ερευνητών, που με τη δύναμη της μεγαλοφυΐας τους πέτυχαν μία καταπληκτική επέκταση στα όρια της Μαθηματικής Επιστήμης.
Η μεγαλύτερη διάνοια του αιώνα μας, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, θεωρούσε τη διδασκαλία των μαθηματικών του Καραθεοδωρή, θεμέλιο της δικής του επιστημονικής σκέψης. Ο Κυριάκος Διακογιάννης στα ‘‘Καθαρά και ξάστερα’’ της ‘‘Αυριανής’’ στις 20-10-1987 γράφει: ‘‘Λίγο καιρό πριν πεθάνει ο διάσημος φυσικός Αλβέρτος Αϊνστάιν ζούσε τελείως απομονωμένος, αποφεύγοντας, όπως άλλωστε σ’ ολόκληρη τη ζωή του, τις συναναστροφές. Εκείνη την εποχή (πέθανε το 1955 σε ηλικία 76 ετών) μια συντροφιά Αμερικανών δημοσιογράφων με την μεσολάβηση του διευθυντού ενός επιστημονικού περιοδικού φίλο του Αϊνστάιν, κατάφερε να πείσει τον μεγάλο φυσικό να εγκαταλείψει την μοναξιά του και να δώσει μία συνέντευξη τύπου. Είτε γιατί διαισθανόταν το τέλος του, είτε για άλλους λόγους άγνωστους, ο ερημίτης δέχτηκε. Το γεγονός εντυπωσίασε την κοινή γνώμη. Στη συνέντευξη έτρεξαν τα μεγαλύτερα λαγωνικά της αμερικανικής δημοσιογραφίας. Η αίθουσα κατάμεστη από εκπροσώπους του τύπου, της ραδιοφωνίας και της τηλεόρασης. Οι ερωτήσεις έπεφταν βροχή στον άνθρωπο που απεδόθη η μέθοδος διάσπασης του ατόμου και η πατρότητα της ατομικής βόμβας την οποία τεχνικά κατασκεύασε η ομάδα επιστημόνων του συνεργάτη και συμπατριώτη του Οπενχάιμερ. Σ’ όλες τις ερωτήσεις ο Αϊνστάιν, απάντησε με την ακριβολογία που διακρίνει τους φυσικούς, οπότε όταν οι ερωτήσεις εξαντλήθηκαν και οι δημοσιογράφοι φιλόφρονες ευχαριστούσαν έτοιμοι να αποσυρθούν, ο Αϊνστάιν προς γενικήν έκπληξη δεν σηκώνεται αλλά από τη θέση του απευθυνόμενος στους εκπροσώπους του τύπου τους λέγει:
‘‘Κύριοι λυπάμαι που σας βλέπω έτοιμους να φύγετε χωρίς να μου υποβάλετε την ουσιαστικότερη ίσως ερώτηση. Ζητήσατε να σας απαντήσω σε χίλια δυο πράγματα, κανείς σας όμως δε θέλησε να μάθει ποιος ήταν ο δάσκαλός μου, ποιος μου έδειξε και μου άνοιξε το δρόμο προς την ανώτερη μαθηματική επιστήμη, σκέψη και έρευνα. Και για να μη σας κουράζω, σας το λέω έτσι απλά χωρίς λεπτομέρειες, ότι ο μεγάλος μου δάσκαλος υπήρξε ο αξεπέραστος Έλληνας Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή, στον οποίο εγώ προσωπικά, αλλά και η μαθηματική επιστήμη, η φυσική και η σοφία του αιώνα μας χρωστάμε τα πάντα».
Ο ίδιος βέβαια ο Καραθεοδωρή, με την σεμνότητα και τη μετριοφροσύνη που τον χαρακτήριζε, σε παρατήρηση συνομιλητών του, ότι πολλά προσέφερε στην επιστήμη απάντησε: “Αι ιδικαί μου εργασίαι, δεν πρόκειται να ζήσουν πλέον των 15-25 ετών δεν είναι εργασίαι του Abel ή του Πυθαγόρα”. Όμως οι εργασίες του άντεξαν πολύ περισσότερο και θα αντέξουν κι άλλο, γιατί είναι εργασίες που γράφτηκαν από μία μαθηματική ιδιοφυΐα.
(Από το βιβλίο της Δέσποινας Ροδοπούλου – Καραθεοδωρή και Δέσποινας Βλαχοστεργίου – Βασβατέκη “Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή: Ο σοφός Έλλην του Μονάχου”.)
Η αλληλογραφία Αϊνστάιν-Καραθεοδωρή: «Αξιότιμε κύριε συνάδελφε! Θεωρώ την παράγωγό σας υπέροχη... Αρχικά με δυσκόλεψε ένα μικρό γραφικό λάθος που βρισκόταν στη δεύτερη σελίδα. Τώρα όμως κατανοώ τα πάντα. Θα έπρεπε να δημοσιεύσετε τη θεωρία με αυτή τη μορφή στo Αnnalen der Physik, γιατί οι φυσικοί συνήθως δεν γνωρίζουν τίποτε για το αντικείμενο αυτό, όπως και εγώ άλλωστε.
Θα πρέπει να σας φάνηκα με την επιστολή μου σαν τον Βερολινέζο εκείνο, ο οποίος μόλις τώρα ανακάλυψε το Γκρούνεβαλντ και ρωτάει αν υπήρξαν ποτέ άνθρωποι εκεί μέσα. Αν θέλετε, δε, να κάνετε τον κόπο να μου αναπτύξετε και τους κανονικούς μετασχηματισμούς, θα βρείτε στο πρόσωπό μου έναν ευγνώμονα και συνειδητό ακροατή. Και αν επιπλέον λύσετε το πρόβλημα των κλειστών χρονικών γραμμών, τότε προσκυνώ σας. Εδώ κρύβεται κάτι με το οποίο αξίζει να ασχοληθούν οι κορυφαίοι. Τους εξαιρετικούς μου χαιρετισμούς. Δικός σας, Α. Αϊνστάιν», σημειώνεται σε επιστολή που βρίσκεται στα αρχεία του μουσείου «Κ. Καραθεοδωρή».
«Θα θέλατε να σκεφτείτε τον χρόνο; Εδώ βρίσκεται ο πυρήνας αυτού του άλυτου έως τώρα προβλήματος του χωροχρόνου. Σας χαιρετά ο όλος δικός σας Α. Αϊνστάιν», σημειώνει σε άλλη του επιστολή, ενώ όταν ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής δημοσίευσε την εργασία του επί των αξιωμάτων της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας παίρνει το πρώτο συγχαρητήριο τηλεγράφημα από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. «Αγαπητέ Συνάδελφε, με καταπλήξατε», σημείωσε.
